当采样时间很短时，可用一阶差分代替一阶微分，用累加代替积分。连续时间的离散化，即 t=KT (K=0,1,2,…,n)

1.离散的PID表达式积分用累加求和近似得

（1）

微分用一阶差分近似得

（2）

T ——为采样周期；k——为采样序号，k＝0，1，2，…；e（k）——系统在第次采样时刻的偏差值；e（k-1）——为系统在第k-1次采样时刻的偏差值。

（3）

将式（1）和式（2）代入式（3），则可得到离散的PID表达式

（4）

2.物理模型

式（4）表示的控制算法提供了执行机构的位置u（k）（如阀门开度），即输出值与阀门开度一一对应，所以称为位置式PID控制算法。

3.离散化的PID位置式控制算法的编程表达式对于式（4），令

称为积分系数,称为微分系数

则离散化的PID位置式控制算法的编程表达式为

由式可以看出，每次输出与过去的状态有关，要想计算u（k），不仅涉及到e（k-1）和e（k-2），且须将历次相加。

上式计算复杂，浪费内存。考虑到第次采样时有

两式相减，得

其中

上式是PID的递推形式，是编程时常用的形式之一。

4.软件算法流程图流程图如图所示。其中系数α0、α1、α2可以预先算出。

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